Simulación de Monte Carlo y Cálculo Estocástico

Espero que esto sirva de punto de partida. 

Voy a tratar de mantenerlo simple, muy simple, esto es algo complicado desde un punto de vista teórico, y yo no soy lo suficientemente inteligente como para explicarlo con rigor adecuado, pero me tiro a la piscina.

La simulación de Monte Carlo es particularmente útil en el modelado de los movimientos de precios de acciones, y es especialmente flexible para los profesionales. Una de sus principales ventajas es que permite ver los "meneos" aleatorios observados en los movimientos del precio de una activo. Estas ondulaciones son causados ​​por el llamado "movimiento browniano" (o, para los chicos de matemáticas, un proceso de Wiener), y por el precio de una activo en particular, "movimiento browniano geométrico" (que no permite valores negativos).  

Ahora, si el precio de un activo sigue un Movimiento Browniano Geométrico, debe satisfacer la ecuación diferencial estocástica:

dSt = μSt + σStdWt

con el proceso de Wiener Wt con media μ y volatilidad σ constantes.

Entonces, blah, blah, blah, lema de Ito, bla, bla, no te preocupes por él (o simplemente leer la página de wikipedia) y terminamos con la siguiente relación: 
St = S0E (μ - 1/2 σ2) t + σWt

Probablemente he creado más preguntas. Entonces trataré de responderlas, pero ten paciencia conmigo mientras me meto en lo que cada una de estas piezas significa desde un punto de vista práctico.

El tamaño de paso, t, indica el tamaño de un paso dado entre las iteraciones de la simulación (para nuestros propósitos, t representa una fracción de un año). Tendrás que modificar μ y σ por el tamaño del paso (es decir, μt y σ √ t) si no lo son en términos de t ya (es decir tamaño de paso de un día y anual σ). μ y σ son la media y la volatilidad de los retornos dentro del periodo elegido, y mientras yo estoy más seguro de que estás familiarizado con la volatilidad, la media puede seguir siendo un misterio. La media es, efectivamente, su tasa de rendimiento en lo que estás modelando. Dicho de otra manera, la media es la dirección general de la acción. 
 
Wt es el proceso de Wiener. Esto es lo que nos enseña los "meneos" en el modelo. Dentro de los límites del cálculo estocástico, se trata de una variable aleatoria lognormal o de Gauss, pero la realidad es que ya no estamos preocupados por las cuestiones teóricas (es decir, que el proceso de Wiener es una martingala con toda seguridad continua), puedes sentirte libre de utilizar cualquier distribución que prefieras (advertencia: no se puede hacer esto con desgana, ya que tendrás a alterar la forma en la media y la volatilidad para interactuar, también hay métodos que te permiten hacer esto como el de Datar-Mathews).

Vamos a entrar en la mecánica para que pueda ver cómo funciona esto de una manera más concreta. Supón que tienes una acción con un media constante (μ) de 0,5 y la volatilidad (σ) 0,2, un precio inicial (So), de 10, y porque soy perezoso, asumo la deriva y la volatilidad son en términos de t:

S1 = 10 e^(0,5 - 0,5 * 0,2^2) + 0,2 * W1

Dado que W es un proceso al azar, vamos a empezar por W1=1 (por lo general, tendrás que utilizar un generador de números aleatorios para la distribución de Gauss). Ahora tenemos:

S1 = 10 e^(0,5 - 0,5 * 0,2^2) + 0,2 * 1 = 19,74

Ahora podemos ejecutar esto a través de varias iteraciones utilizando números aleatorios W2 = 0.5, W3 = -0,5, y W4 = -3:

S2 = 19,74 e^(0,5 - 0,5 * 0,2^2) + 0,2 * 0,5 = 35,25

S3 = 35,25 e^(0,5 - 0,5 * 0,2^2) + 0,2 * -0.5 = 51,55

S4 = 51,55 e^(0,5 - 0,5 * 0,2^2) + 0,2 * -3 = 45.72

Obviamente, una buena simulación de Monte Carlo se ejecuta miles y miles de estos caminos de precios para empezar a ser utilizable. Sin embargo, esto debería ser suficiente para una comprensión muy básica de este concepto.

Espero que esto halla sido útil y/o interesante. Este tipo de modelos ocupan una amplia gama y piezas aparentemente estáticas del modelo, como la volatilidad, se pueden de hecho convertirse en los propios procesos estocásticos. Algunas de las ventajas de este sitio puede profundizar en modelos de volatilidad ARCH y GARCH, que son sin duda interesantes y ampliamente utilizados.

Ni que decir tiene, no hay mucho que hacer aquí, y si te gusta el modelo, está bien, pero ten cuidado, esta es una muy pequeña introducción y al mismo tiempo que funcionará como punto de partida, estoy seguro de que he perdido (a propósito) algunos detalles. Para que te hagas una idea de dónde te puedes estár metiendo: http://marcoagd.usuarios.rdc.puc-rio.br/stochast.html